Küme matematikte tanımlı bir kavram değildir. Fakat genel bir fikir vermesi açısından iyi tanımlanmış somut veya soyut nesneler topluluğu olarak ifade edilebilir. "10'dan küçük bazı tam sayılar" ifadesi bir küme belirtmez. Çünkü belirtilen topluluk iyi tanımlanmamıştır, toplulukta bulunan elemanların neler olduğu anlaşılabilir değildir. Fakat "10'dan küçük tek doğal sayılar" ifadesi bir küme belirtir. Çünkü bu tanımdan kümenin elemanlarının ne olacağını anlayabiliriz.
x bir nesne ve A da bir küme olsun. Bu durumda bu nesne ile bu küme arasındaki ilişki aşağıdaki sembollerle ifade edilebilir:
\(x\in A\) : Bu ifade x A'nın elemanıdır manasına gelir.
\(x\notin A\) : Bu ifade ise x A'nın elemanı değildir manasına gelir.
Bir küme farklı şekillerde gösterilebilir.
Kümelerin Gösterimi
Venn Şeması Yöntemi
Bu yöntemde kümenin tüm elemanları kapalı bir şekil içinde gösterilir. Örneğin yukarıda tanımlanan küme Venn Şeması ile şöyle gösterilir:
Liste Yöntemi
Bu yöntemde kümenin tüm elemanları iki tırnaklı parantez arasında listelenir. Örneğin yukarıdaki küme liste yöntemi ile şu şekilde ifade edilir:
A={1, 3, 5, 7, 9}
Ortak Özellik Yöntemi
Bu yöntemde küme elemanların ortak özellikleri ile tanımlanır. Fakat burada şuna dikkat edilmelidir, verilen ortak özellikler sadece istenen elemanları belirtmelidir, başka nesneleri de belirtmemelidir. Örneğin yukarıdaki kümeyi belirtmek için "Tek doğal sayılar" tanımı kullanılamaz. Kümedeki elemanların hepsinin ortak bir özelliğinin tek olmak olduğu doğrudur fakat bu ifade 11, 13, 15 gibi sonsuz nesneyi daha bu kümeye dahil etmektedir. Bu nedenle ortak özelliklerin sadece kümedeki elemanların ortak özelliği olması gerektiği akıldan çıkarılmamalıdır. En yukarıdaki ifade, yani "10'dan küçük tek doğal sayılar" ifadesi örneğimizde kullandığımız kümeyi ortak özellik yöntemi ile ifade etmektedir. Bu ifade matematiksel olarak şöyle de gösterilebilir:
\(A=\left \{ x: x=2k-1, x<10, k\in Z \right \}\)
Kümelerle İlgili Kavramlar
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve \(\varnothing\) işareti ile gösterilir.
Üzerinde işlem yapılan her şeyi kapsayan kümeye evrensel küme denir.
İki kümenin eleman sayıları eşitse bu iki kümeye denk kümeler denir ve \(A\equiv B\) şeklinde gösterilir.
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir ve \(A=B\) şeklinde gösterilir.
Bir A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir. Bu durum aşağıdaki ifadelerle gösterilir:
\(A\subset B\) : A kümesi B kümesinin alt kümesidir anlamına gelir.
\(B\supset A\) : B kümesi A kümesini kapsar anlamına gelir ve üstteki ifadeyle aynı şeyi anlatır.
Bir kümenin alt küme sayısı, "n" bu kümenin eleman sayısı olmak üzere \(2^n\)'dir.
- Boş küme her kümenin alt kümesidir.
- Her küme kendisinin alt kümesidir.
- \(A\subset B\) ve \(B\subset A\) ise A=B'dir.
- \(A\subset B\) ve \(B\subset C\) ise aynı zamanda \(A\subset C\)'dir.
Bir kümenin kendisi haricindeki alt kümelerine öz alt küme de denir.
Tümleyen
Bir kümenin elemanlarından hiçbirini içermeyen fakat evrensel kümenin diğer elemanlarının tamamını içeren kümeye bu kümenin tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni \(A'\) şeklinde gösterilir.
\(A- B=\left \{ x|x\in A \wedge x\notin B \right \}\)
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Birleşim
İki kümenin tüm elemanları alınarak oluşturulan yeni kümeye bu iki kümenin birleşimi denir. A ve B kümelerinin birleşimi \(A\cup B\) şeklinde gösterilir.
İki kümenin tüm elemanları alınarak oluşturulan yeni kümeye bu iki kümenin birleşimi denir. A ve B kümelerinin birleşimi \(A\cup B\) şeklinde gösterilir.
\(A\cup B=\left \{ x|x\in A \vee x\in B \right \}\)
Yukarıda \(A\cup B\) Venn Şeması üzerinde gösterilmektedir. Birleşim için aşağıdaki özellikler mevcuttur.
\(A\cup A=A\)
\(A\cup \varnothing=A\)
\(A\cup B=B\cup A\)
\((A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\)
\(A\subset (A\cup B)\) ve \(B\subset (A\cup B)\)
Kesişim
İki kümenin ortak elemanları alınarak oluşturulan yeni kümeye bu kümelerin kesişimi denir. A ve B kümelerinin kesişimi \(A\cap B\) şeklinde gösterilir.
\(A\cap B=\left \{ x|x\in A \wedge x\in B \right \}\)
Yukarıda \(A\cap B\) Venn Şeması üzerinde gösterilmiştir. Kesişim için aşağıdaki özellikler mevcuttur:
\(A\cap A=A\)
\(A\cap \varnothing=\varnothing\)
\(A\cap B=B\cap A\)
\((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\)
\(A\supset (A\cap B)\) ve \(B\supset (A\cap B)\)
Ayrıca kesişimleri boş küme olan kümelere sıkça rastlandığından ayrık küme kavramı ortaya çıkmıştır. Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir.
Kesişim ve birleşim için aşağıdaki özellikler de mevcuttur:
\(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)
\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)
Tümleyen
Bir kümenin elemanlarından hiçbirini içermeyen fakat evrensel kümenin diğer elemanlarının tamamını içeren kümeye bu kümenin tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni \(A'\) şeklinde gösterilir.
\(A'=\left \{ x|x\notin A \wedge x\in E \right \}\)
Yukarıda \(A'\) Venn Şeması üzerinde gösterilmiştir. Tümleyen için aşağıdaki özellikler mevcuttur.
\((A')'=A\)
\((A\cup B)'=A'\cap B'\)
\((A\cap B)'=A'\cup B'\)
\(A\subset B\) ise \(B'\subset A'\)
\(\varnothing '=E\)
\(E'=\varnothing\)
\(A\cup A'=E\)
\(A\cap A'=\varnothing\)
Fark
Bir kümede olup da diğerinde olmayan elemanlarla oluşturulan yeni kümeye fark kümesi denir. A kümesinin B kümesinden farkı \(A-B\) veya \(A\setminus B\) şeklinde gösterilir.
Yukarıda \(A-B\) Venn Şeması üzerinde gösterilmiştir. Fark için aşağıdaki özellikler mevcuttur.
\(A-B=A\cap B'\)
\(E-A=A'\)
\((A-B)\cup (B-A)\) ifadesi \(A\Delta B\) şeklinde de ifade edilir ve buna simetrik fark denir.